MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres:

1. Sustitución
2. Igualación
3. Reducción

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

i. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.

ii. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.

iii. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

Recuerda que, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Es decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.

EJEMPLO: X+Y = 11
3X-Y = 5

1) Despejar una incógnita en cualquiera de las ecuaciones.
Se despeja y en la primera ecuación. y = 11 – x

2) Sustituir la expresión de la incógnita despejada en la otra ecuación.
Se sustituye la expresión de y en función de x en la segunda ecuación.
3x – y = 5
3x – (11 – x) = 5

3) Resolver la ecuación que aparece con una sola incógnita.
Se resuelve la ecuación que tiene como incógnita la x. 3x – 11 + x = 5
4x = 5 + 11
4x = 16
x = 16/4
x=4

4) Sustituir el valor hallado de esta incógnita en una expresión que permita determinar el valor de la otra incógnita.
Se sustituye el valor de x para hallar el de y. x + y = 11
4 + y = 11
y = 11 – 4
y = 7

5) Comprobar que el par obtenido es la solución del sistema inicial.
Se comprueba que el par (4,7) es solución del sistema.

Para la 1ra. ecuación.
x + y = 11
4 + 7 = 11
11 = 11

Para la 2da. ecuación
3x – y = 5
(3*4) – 7 = 5
12 – 7 = 5
5 = 5

MÉTODO DE IGUALACIÓN:

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

i. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

iii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

EJEMPLO: 2X-Y=-3
X+Y=6


1) Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Se despeja la y en la dos ecuaciones. y = 2x + 3
y = 6 – x

2) Igualar las expresiones de la incógnita despejada obteniendo una ecuación con la otra incógnita
Se igualan las expresiones de y. 2x + 3 = 6 – x

3) Resolver es esta ecuación.
Se resuelve la ecuación en x. 2x + x = 6 – 3
3x = 3
x = 3/3
x = 1

4) Sustituir el valor hallado de la incógnita en una expresión del sistema que permita determinar el valor de la otra incógnita.
Se sustituye el valor de x en la segunda ecuación del sistema para calcular el valor de y. x + y = 6
1 + y = 6
y = 6 – 1
y = 5

5) Comprobar que el par obtenido es la solución del sistema inicial.
Se comprueba que el par (1,5) es la solución del sistema inicial.

Para la 1ra. Ecuación
2x – y = - 3
(2*1) – 5 = - 3
2 – 5 = - 3
- 3 = - 3

Para la 2da. Ecuación
x + y = 6
1 + 5 = 6
6 = 6

MÉTODO DE REDUCCIÓN:
El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

i. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
ii. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
iii. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
iv. Para este paso hay dos opciones:
a. Se repite el proceso con la otra incógnita.
b. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

EJEMPLO: 3X+8Y=23
11X+6Y=-9
1) Transformar el sistema en otro equivalente de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en las dos ecuaciones sean números opuestos.
Se multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por (-4).
Para hallar los coeficientes de y que es la variable que queremos eliminar. 9x + 24y = 69
-44x – 24y = 36

2) Se suman ambas ecuaciones algebraicamente.
Se suman ambas ecuaciones y se obtiene una ecuación con una incógnita que es x.

9x + 24y = 69
-44x – 24y = 36
_______________
35X=.......=105

3) Resolver la ecuación en la que solo aparece una incógnita.Se resuelve la ecuación en x. - 35 x = 105
x = 105/-35
x = -3

4) Sustituir el valor hallado de la incógnita en la otra ecuación para obtener el valor de la otra incógnita.
Se sustituye el valor de x en la primera ecuación para así obtener el valor de y.

9x + 24y = 69
9(-3)+24Y=69
-27+24Y=69
24Y=69+27
24Y=96
Y=96/24
Y=4

5) Comprobar que el par obtenido es la solución del sistema inicial.
Se comprueba que el par (-3, 4) es solución del sistema inicial.

Para la 1ra. Ecuación
3x + 8y = 23
3(-3) + 8(4) = 23
- 9 + 32 = 23
23 = 23

Para la 2da. Ecuación
11x + 6y = -9
11(-3) + 6(4) = -9
-33 + 24 = -9
-9 = -9